赫斯特指數：期貨市場是趨勢還是均值回歸

目錄

1. 赫斯特指數能判斷期貨市場是趨勢還是均值回歸嗎？
2. 赫斯特指數 0.5 代表什麼？高於或低於它又代表什麼？
3. 如何計算赫斯特指數？
4. 赫斯特指數估計需要多少資料才夠？
5. 該用哪種估計方法？各種方法的雜訊有多大？
6. 哪些期貨市場的赫斯特指數偏高？
7. 赫斯特估計值為何會隨時間漂移？
8. ES 日 K 棒上的簡單趨勢規則，在真實回測中顯示什麼？
9. 常見問題
10. 參考文獻

赫斯特指數能判斷期貨市場是趨勢還是均值回歸嗎？

赫斯特指數可以把期貨市場分成趨勢（高於 0.5）、隨機（接近 0.5）或均值回歸（低於 0.5）三種行為，但在真實期貨資料上，估計值雜訊多，而且會隨時間漂移。請把它當作需由回測確認的粗略市場狀態提示，而不是告訴你今天該跑哪種策略的開關。

赫斯特指數是介於 0 與 1 之間的數字，衡量價格序列傾向延續近期方向，還是傾向反轉。可以想成三種行走者。醉漢的腳步不記得上一步：那是隨機漫步。山徑上的登山客會朝同一方向走很久：那是趨勢。牽繩的狗跑出去，又被拉回來：那是均值回歸。指數要說的，是市場像哪一種行走者。

本文要論證的主張很簡單：赫斯特指數值得計算，作為市場狀態偵測的輸入之一，但它太不穩定，無法單獨用來切換策略。以下各節說明這個數字的意義、計算方式、需要多少資料、為何會變動，以及在 ES 日 K 棒上的單純趨勢規則，扣除成本後的真實回測看起來如何。

赫斯特指數 0.5 代表什麼？高於或低於它又代表什麼？

赫斯特指數接近 0.5，代表過去的漲跌不含下一步走勢的資訊；高於 0.5，代表漲跌傾向延續；低於 0.5，代表漲跌傾向反轉。隨機漫步是指每一步都與先前每一步無關的價格路徑。均值回歸是指價格偏離近期平均後，傾向走回平均；交易它的規則，見均值回歸與可測試的期貨範例。

	H 低於 0.5	H 接近 0.5	H 高於 0.5
過去的漲跌說明什麼	上漲之後，較常接著下跌	什麼都沒有：下一步如同擲硬幣	上漲之後，較常接著再上漲
價格路徑	震盪，經常穿越平均	遊走，沒有規律	朝單一方向長時間延續
優先測試的規則類型	逆勢交易過度延伸的走勢、通道、震盪指標	從這項衡量看，兩種都沒有優勢	突破、移動平均線趨勢規則
常見的期貨讀數	指數期貨的短週期日內 K 棒	多數日 K 棒序列	部分大宗商品與利率期貨的日 K 棒或週 K 棒

實務上要看的是差距有多大。擲硬幣般的市場給出 0.5。連續數月強勢趨勢的市場，在日 K 棒上可能給出 0.55 到 0.6。在一分鐘 K 棒上強烈回歸的市場，可能給出 0.4 到 0.45。因此流動性高的期貨，整個有用的範圍只有約十分之二寬，而下文談到的估計誤差，本身就可能有十分之一。這就是從單一讀數取得「均值回歸對趨勢」標籤的全部問題。

如何計算赫斯特指數？

經典方法是重標極差分析，它把赫斯特指數當成斜率來讀：報酬區塊越長，區塊內的極差成長得多快。重標極差是一段報酬區塊內累積偏差的極差，除以該區塊的標準差。Hurst (1951) 建立這個方法，是為了替尼羅河水庫定規模：他問，累積水位在數年期間可能偏離平均多遠，並發現這種偏離成長的速度，比隨機序列允許的更快。

1. 取對數報酬。使用 K 棒與 K 棒之間的變化，而非價格，因此市場所處的價位水準不影響結果。
2. 把序列切成長度為 n 的區塊。使用數種區塊長度，例如 16、32、64、128 與 256 根 K 棒。
3. 對每個區塊計算 R 與 S。每筆報酬減去區塊平均值，再逐筆加總得到累積值，取最高累積值減去最低累積值，就是極差 R。區塊報酬的標準差是 S。
4. 對所有相同長度的區塊，平均 R/S。每個區塊長度 n 得到一個值。
5. 以 log(R/S) 對 log(n) 作圖，擬合一條直線。斜率就是 H。

最後一步背後的公式是：

log(R/S) = H × log(n) + c

這裡 R/S 是長度為 n 的區塊的平均重標極差，log 是對數（任何底數皆可，只要等號兩邊用同一個），H 是你要求的赫斯特指數，c 是把直線上下平移的常數，無關緊要。隨機漫步的極差隨區塊長度的平方根成長，因此斜率剛好是 0.5。

赫斯特指數估計需要多少資料才夠？

可靠的赫斯特指數估計需要數千根 K 棒，短的日內視窗產生的數字，波動遠大於市場本身。原因有兩個。第一，H 是只通過少數幾個點（每種區塊長度一個點）所擬合直線的斜率，由五個點得出的斜率很脆弱。第二，每個點都是區塊極差的平均值，而這個平均值隨區塊數增加，只會緩慢趨穩，大致隨數量的平方根，與多數平均值相同。在一年的日 K 棒序列中，256 根 K 棒的區塊長度只會得到一個區塊，所以那個點只是一筆觀察，卻被當成平均值。

實務上的結果是一種取捨。日 K 棒給出最乾淨的市場狀態讀數，但需要十年以上的歷史，而這段期間市場已經改變。日內 K 棒在數月內就能累積足夠觀察值，但在短週期上，讀數主要由委託簿的機制決定，而不是你想交易的行為。不論哪種，都要在看結果之前先決定視窗長度，並且固定不變。

該用哪種估計方法？各種方法的雜訊有多大？

重標極差、去趨勢波動分析與變異數比估計，近似的是同一個量；由於每種方法在短樣本上偏向不同方向，在信任標籤之前，應在同一份資料上比較其中兩種。去趨勢波動分析是在衡量累積值遊走幅度之前，先從每個區塊移除擬合出的趨勢，因此資料中的緩慢漂移不會被算成持續性。變異數比估計是比較 k 根 K 棒報酬的變異數，與 k 倍一根 K 棒報酬變異數；隨機漫步的比值為 1，高於 1 指向趨勢，低於 1 指向均值回歸。

	重標極差（R/S）	去趨勢波動分析	變異數比
衡量什麼	累積偏差的極差如何隨區塊長度成長	圍繞局部趨勢的遊走幅度如何隨區塊長度成長	k 根 K 棒的變異數，是大於還是小於 k 個一根 K 棒的變異數
短樣本上的偏誤	讀得偏高：短的隨機序列常讀到 0.55 到 0.6	較接近中性，但範圍仍寬	取決於所選的落後期數 k；各期數的結果不同
最低有用資料量	數千根 K 棒	數千根 K 棒	每個落後期數數百根 K 棒，落後期數越長越多
計算難易度	試算表就能算	中等：每個區塊內都要擬合一條直線	容易，但每個落後期數只有一個數字
最適用途	對長期日 K 棒序列的初步檢視	有緩慢漂移的序列，例如利率期貨	檢查特定週期，例如 5 根或 20 根 K 棒

普通 R/S 在短樣本上的偏高，是多數初次使用者會掉進的陷阱：幾百根隨機 K 棒常會算出 0.57，看起來像趨勢市場。對同樣那些 K 棒跑去趨勢波動分析，得到 0.51，就說明第一個數字來自方法，而不是市場。當兩種方法的差距，大於同一份報酬打亂後兩者的差距時，你還沒有可用的標籤。

哪些期貨市場的赫斯特指數偏高？

在日 K 棒上持續趨勢的市場，例如部分大宗商品與利率期貨，H 往往略高於 0.5；而股價指數期貨在短週期日內 K 棒上，常落在 0.5 或以下，兩組之間的差距很小。Moskowitz、Ooi 與 Pedersen (2012) 在廣泛的流動性期貨中記錄到，過去一至十二個月的報酬，往往延續到下個月，這正是赫斯特指數所衡量的持續性，只是發生在那些週期上。持續的日 K 棒序列，表現為 H 略高於 0.5；不會表現為 0.8。

在計算任何東西之前，有三個值得知道的規律：

1. K 棒週期對答案的影響，大於市場本身。同一個指數期貨，在週 K 棒上可能讀到高於 0.5，在一分鐘 K 棒上卻低於 0.5，因為在最短的週期上，價格會在買價與賣價之間彈跳，看起來像反轉。
2. 利率與部分大宗商品期貨，在日 K 棒上偏向持續性。緩慢變動的基本面，例如央行週期或作物季節，會在數月之間逐步展開。
3. 股價指數期貨的日 K 棒，落在中間附近。它們的趨勢規則，成敗取決於每十年幾次長行情，這也是本文後面的 ES 回測交易筆數很少的原因。

就日內操作而言，這代表赫斯特指數沒有聽起來那麼有用；常見日內指標的測試實際顯示什麼，見日內交易最佳指標。想更廣泛了解哪些工具能轉成可檢驗的規則、哪些不能，請見可檢驗的技術分析工具與指標指南。

赫斯特估計值為何會隨時間漂移？

估計值會漂移，是因為市場行為隨波動率與參與程度而改變，而且每個滾動視窗都帶有抽樣誤差，所以某一季讀到 0.58、下一季讀到 0.49，可能是真正的市場狀態轉變、純粹雜訊，或兩者兼有。兩種原因在圖上看起來完全一樣。指數緩步走高的平靜一季，會拉高量到的持續性；急跌後反彈的一季，會把它壓低。兩者都無法告訴你下一季會怎樣。

三個步驟，讓滾動估計值變得可讀：

1. 畫出誤差帶。對同一視窗的打亂副本多次計算 H；這些結果的分布範圍就是誤差帶。在帶內穿越 0.5，屬於雜訊。
2. 要求讀數連續多個視窗都留在帶外。只有一個視窗在帶外，只是一筆觀察。
3. 檢驗切換，而不是數字。建立規則「H 高於誤差帶時交易突破，低於時做通道與逆勢單」，納入成本回測，並與沒有切換的同樣規則比較。若切換在沒見過的資料上沒有改善結果，它加進來的是雜訊，不是資訊。

任何緩慢的部位衡量，都適用同樣的紀律，例如選擇權資金流所產生的賣方伽瑪曝險（GEX）各價位：讀數會隨市場裡有誰而變，所以上個月有效的價位，現在可能無效，只有跨越多個月的測試，才能告訴你它是否曾經有效。

ES 日 K 棒上的簡單趨勢規則，在真實回測中顯示什麼？

股價指數期貨在日線解析度上的趨勢規則，交易很少、持有期很長，回撤佔獲利的比例很大，而且一次搜尋中單一留下的倖存者，看起來比它所屬的那一類規則更好。下方這次回測並未測試赫斯特指數本身：它使用一條替代的趨勢規則（取自 AlphaPrime（Valynox）規則集的 Pkg 規則），作為唯一的進場與出場，沒有停損、沒有停利、也沒有濾網，因此結果呈現的是 ES 日 K 棒上單純趨勢跟隨在扣除成本後的樣子。AlphaPrime 在 2019-01-02 至 2025-06-30 的 ES 日 K 棒上執行，多空皆做，一口，每筆交易收取 $20 手續費與 $25 滑價。

請把這些數字當成對一次過去回測的描述，而不是這條規則會賺到的結果。所示的候選策略，是約一千個變體（本次回測為 1,024 個）中留下的一個，因為它的報酬相對回撤是整組中最好的。在看完所有結果後挑出贏家，會使它看起來更好：在同一段歷史上嘗試這麼多次，最佳結果包含一部分沒有讀者能指望重現的運氣，而 Bailey、Borwein、López de Prado 與 Zhu (2014) 指出，這部分會隨所比較的變體數量增加。六年半只有四十二筆交易，也是很小的樣本：平均每筆損益 $1,671.37 靠的是少數幾段長行情，而最大回撤 $47,425 相對於淨損益 $70,197.5，代表帳戶有很長一段時間遠低於高點。在場時間 55.02%，代表這條規則有略多於一半的 K 棒持有部位，其餘時間空手。

這對赫斯特問題的意義，與前面各節一致。ES 日 K 棒落在 0.5 附近；其上的趨勢規則不會失敗，但它的成績來自少數幾段持續行情，並在行情之間的盤整中回吐不少。像這樣留下的倖存者，還必須接受推進分析視窗，以及在搜尋之前就寫下的門檻，這正是 AlphaPrime 中策略檢驗的工作：只在產生它的資料上成立的「趨勢」標籤，會在那裡被淘汰，不會送到交易平台。在跑你自己的版本之前，請先設定ES 與 NQ 美國指數期貨回測基本設定中說明的合約、交易時段與成本輸入，讓你的結果可以與上方表格比較。

下一步很具體：取你交易的某個期貨市場十年的日 K 棒，對整個序列分別用重標極差與去趨勢波動分析計算 H，再對打亂的副本各算一次。如果真實讀數勝過打亂讀數的幅度，沒有大於打亂讀數彼此的差距，代表市場尚未告訴你它是趨勢還是回歸，接下來要測試的規則類型，應由回測決定，而不是由標籤決定。

常見問題

赫斯特指數是交易指標嗎？

一般意義上不是。指標是在短視窗上計算，並每根 K 棒更新；赫斯特指數需要數千根 K 棒才穩定，所以逐根計算的版本多半是雜訊。更適合當作研究用的衡量：在長歷史上算一次，決定先測試哪一類規則，再交由回測決定。

趨勢跟隨適用的赫斯特指數是多少才算好？

在日 K 棒期貨資料上，讀數持續高於 0.5，且超過估計本身的誤差帶，並經兩種不同方法確認，就已是最好的結果。預期的數值像 0.53 到 0.6，而不是 0.8。讀數為 0.5，並不排除趨勢跟隨；它只是代表這項衡量沒有理由讓你偏好趨勢跟隨而非均值回歸。

可以在日內 K 棒上計算赫斯特指數嗎？

可以，但結果主要反映價格在極短週期上於買價與賣價之間彈跳，讀起來就像均值回歸。請使用至少數分鐘的 K 棒與數個月的歷史，並在下結論之前，把讀數與同一份報酬的打亂副本比較。對日內規則而言，直接回測規則通常更快得到答案。

赫斯特指數與自相關是同一回事嗎？

兩者衡量相關的東西，方式不同。落後一期的自相關，問的是這根 K 棒的報酬是否與上一根 K 棒的報酬有關。赫斯特指數問的是，累積漲跌的極差如何隨時間跨度成長，一次捕捉許多落後期數上的記憶。一個序列可能一根 K 棒的自相關接近零，卻因為數週的緩慢持續性，仍讓 H 高於 0.5。

參考文獻

• Hurst, H. E. (1951). Long-Term Storage Capacity of Reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116, 770–799.
• Moskowitz, T. J., Ooi, Y. H., & Pedersen, L. H. (2012). Time Series Momentum. Journal of Financial Economics, 104(2), 228–250.
• Bailey, D. H., Borwein, J., López de Prado, M., & Zhu, Q. J. (2014). Pseudo-Mathematics and Financial Charlatanism: The Effects of Backtest Overfitting on Out-of-Sample Performance. Notices of the American Mathematical Society, 61(5), 458–471.