均值回歸是什麼：公式與可測試的期貨範例

目錄

1. 什麼是均值回歸？
2. 均值回歸的公式是什麼？
3. 如何把均值回歸轉成回測能照做的規則？
4. 為什麼均值回歸策略在趨勢市場會失靈？
5. 交易成本如何改變均值回歸的回測？
6. 如何確認結果不是靠運氣湊出來的設定？
7. 常見問題
8. 參考文獻

什麼是均值回歸？

均值回歸的概念是：價格偏離近期平均很遠之後，傾向往平均靠攏。你用 z 分數衡量偏離幅度：價格減去移動平均，再除以同一段 K 棒的標準差。一條可測試的期貨規則是在 z 低於 −2 時買進、接近 0 時出場，並在扣除成本後進行檢驗。

想像一條綁在柱子上的橡皮筋。拉得很遠，它往往會彈回來。均值回歸策略等橡皮筋被拉得很遠，再押注它會彈回。順勢策略則下相反的注：離開平均的走勢會持續下去。兩種想法都可以測試，但沒有哪一種在每個市場、每段期間都成立。它的進場訊號通常來自衡量與平均值距離的技術指標。

在期貨上，交易者常用兩種方式運用這個概念。一種用在單一合約的價格，例如在平靜的交易時段內漲跌過頭的指數期貨。另一種用在兩個相關合約之間的價差。本文採用第一種，因為它最容易轉成明確的規則。

均值回歸的公式是什麼？

衡量均值回歸的標準方式是 z 分數，它表示價格距離平均有幾個標準差。z 分數是一個數字，用來說明某個值相對於近期數值有多不尋常。標準差則是衡量價格在同一段 K 棒內圍繞平均分散程度的指標。標準差指標頁面說明了它的計算方式。

公式如下：

z = (P − M) / S

• P 是目前的收盤價。
• M 是最近 N 根收盤價的平均，通常用簡單移動平均。
• S 是同樣 N 根收盤價的標準差。
• N 是回看期間，也就是計算 M 與 S 所用的 K 棒數量。

z 分數為 0 表示價格正好在平均上。z 分數為 −2 表示價格比平均低兩個標準差。如果在 20 根 K 棒的平均上下畫出 +2 與 −2 的線，就得到預設設定的常見布林通道。z 分數是同樣的資訊，只是濃縮成一個數字，很容易放進規則裡。

在完美的鐘形分布中，大約 95% 的數值落在平均值兩個標準差之內。但價格資料的尾部比這更肥。超出 ±2 的走勢出現得比鐘形曲線所暗示的更頻繁，其中有些還會繼續延伸。所以 ±2 是用來測試的起點，不是統計上保證會反彈的承諾。

如何把均值回歸轉成回測能照做的規則？

均值回歸的想法只有在每個決定都寫下來之後才能測試，包括何時認輸。「看起來超賣就買」無法測試，一組明確的條件才可以。以下是針對 30 分鐘 K 棒的指數期貨的一套完整規則：

1. 計算：在每根 K 棒收盤時，用最近 20 根收盤價計算 M 與 S，再算出 z。
2. 做多進場：當 z 收盤低於 −2 時，在下一根 K 棒的開盤買進。
3. 做空進場：當 z 收盤高於 +2 時，在下一根 K 棒的開盤賣出。
4. 一般出場：當 z 穿越回 0 時，在下一根 K 棒的開盤出場。
5. 使用停損：設在距離進場價固定的距離。
6. 使用時間停損：如果兩種出場都沒發生，就在 10 根 K 棒後出場。時間停損是指經過設定的 K 棒數之後，不論價格如何都平掉部位的出場方式。
7. 只在你選定的交易時段交易，並在該時段結束時空手。

有兩個細節決定這個回測是否誠實。第一，規則在 K 棒收盤時做決定，在下一根 K 棒成交。若在產生訊號的同一個收盤價成交，就是用了你根本無法成交的價格。第二，在 z = 0 出場，部分原因是平均往價格靠近，而不只是價格往平均靠近。因此每筆損益常常比進場價到起始平均的距離來得小。

均值回歸規則通常是勝率高、虧損少但單次金額較大。光看高勝率什麼也說明不了。請用勝率與期望值計算器，輸入你的平均獲利與平均虧損，它會告訴你每筆交易平均值多少。

為什麼均值回歸策略在趨勢市場會失靈？

市場出現趨勢時，均值回歸會失靈，因為被拉開的價格會繼續被拉開，而不是彈回來。趨勢行情是指價格穩定朝同一方向移動的期間，每根新 K 棒都傾向延伸這段走勢。在劇烈下跌中，z 可能連續好幾根 K 棒收在 −2 以下。規則買進、被停損、再買進、再被停損。

市場表現	z 分數的行為	規則的典型結果
橫向盤整	在 ±2 之間來回擺盪並回到 0	頻繁的小額獲利
緩慢趨勢	較長時間停留在 0 的同一側	在 0 出場的次數較少，時間停損較多
強勢趨勢或消息衝擊	連續多根 K 棒停留在 ±2 之外	連續反覆觸發停損

你無法消除這個弱點，但可以衡量並限制它。以下四個步驟有幫助：

1. 找出歷史中的趨勢期間，例如急劇崩跌或長期上漲，並逐筆檢視規則在當時的交易。
2. 保留停損與時間停損。沒有它們，回測可能掩蓋一筆足以讓帳戶出清的虧損交易。
3. 測試趨勢濾網，例如：當 100 根 K 棒的平均低於 20 根 K 棒前的水準時，略過做多進場。只有當濾網在未經調校的資料上也有幫助時，才保留它。
4. 檢視最糟的連續虧損，而不只是總結果。你必須熬過的就是那段連虧。

交易成本如何改變均值回歸的回測？

成本對均值回歸的打擊比多數策略類型更重，因為它需要大量交易，而每次目標都很小。規則在接近平均時出場，所以每筆的獲利有限。但每一次一買一賣（來回）仍要付手續費、交易所費用與滑價。滑價是回測假設的價格與你實際成交價之間的差距。

第二項成本藏在成交假設裡。許多均值回歸交易者用限價單在下跌時買進。若回測讓每張限價單一碰到價格就成交，結果會偏樂觀。在急跌中，成交的單往往是持續虧損的那些，而本來會賺錢的單常常成交不了。下一根 K 棒的市價成交加上合理的滑價，是較安全的預設。AlphaPrime（Valynox） 的回測採下一根 K 棒成交，並套用你設定的手續費與滑價，均值回歸的進場看的是實際成交得到的價格，不是訊號當下的價位。

較快的版本看起來更活躍、更平滑，但大部分優勢都被成本吃掉。較慢的版本撐得過成本壓力測試。關於設定手續費與滑價的完整方法，請見回測中的交易成本：手續費、滑價與平均每筆損益。

如何確認結果不是靠運氣湊出來的設定？

值得信賴的均值回歸結果，在稍微改變設定、換到其他市場時仍然成立。回看期間 N 與進場門檻都是你的選擇。如果測試了許多組合再挑最好的一組，它的部分結果就是運氣。對技術交易規則的研究顯示，在同一份資料上測試許多規則，其中最好的一條光靠機率就可能看起來很強（Sullivan, Timmermann & White, 1999）。你嘗試的變化越多，最佳回測往往越高，即使沒有任何一個變化真的有優勢（Bailey, Borwein, López de Prado & Zhu, 2014）。

跑一個鄰近設定的小格子，看它的形狀，而不只看最好的那一格：

你改變的項目	範例值	好的跡象	壞的跡象
回看期間 N	10、20、30、40 根 K 棒	相鄰的值結果相近	只有一個值有效
進場門檻	1.5、2.0、2.5	交易較少，但每筆結果相近	結果在不同值之間正負翻轉
K 棒週期	15、30、60 分鐘	結果方向相同	只在一種 K 棒週期有效
市場	其他流動性佳的指數期貨	較弱，但扣除成本後仍為正	在其他地方全部失敗
期間	每一個獨立的年份	大多數年份可接受	全靠某一年撐起

接著，在未經調校的資料上測試所選的設定。推進分析是一種檢驗：在一段資料視窗上調校規則，原封不動交易下一段視窗，然後把兩個視窗一起往前推並重複。推進分析：為什麼一次回測不夠說明了如何選擇視窗。在 AlphaPrime中，你可以在策略生成裡描述規則的進出場條件與要探索的參數範圍。接著可以在策略檢驗中，以你自己的門檻執行推進分析與其他檢查。

如果你使用 AlphaPrime，這代表：在第一次執行之前，先設定好合理的手續費、滑價，以及你的交易時段（下一根 K 棒成交是固定規則），讓均值回歸的候選策略在扣除成本後排名。然後依據鄰近設定的形狀與推進分析的結果來評判它們，而不是看單一最佳的回測。

常見問題

均值回歸的公式是什麼？

常見的公式是 z 分數：z =（價格 − 平均）÷ 標準差，平均與標準差取自同樣數量的近期 K 棒。z 分數為 −2 表示價格比近期平均低兩個標準差。均值回歸規則通常在 z 越過 ±2 等門檻時進場，並在 z 回到 0 附近時出場。

均值回歸的「均值回歸」是什麼意思？

均值回歸描述價格，或兩個價格之間的價差，在大幅偏離平均之後傾向回到平均的現象。在交易中，它是「在被拉低時買進、在被拉高時賣出」這類策略的基礎。

均值回歸在期貨上有效嗎？

這取決於市場、K 棒週期、期間與成本，唯一的判斷方法就是測試。均值回歸規則在盤整期間往往表現良好，在強勢趨勢中表現不佳。在依賴它之前，請在合理的成本下、鄰近設定上、其他市場上，並搭配推進分析來檢驗。

均值回歸與順勢交易有什麼差別？

均值回歸押注遠離平均的價格會往平均靠攏。順勢交易押注離開平均的走勢會持續。兩者常在相反的市場條件下表現良好，所以有些交易者會把它們放在同一個投資組合中一起測試。

均值回歸策略該用多長的回看期間？

沒有唯一正確的回看期間。20 根 K 棒的視窗是常見的起點，因為它與布林通道的預設值一致。請測試一系列鄰近的值，例如 10 到 40 根 K 棒，並偏好扣除成本後相鄰值結果相近的設定。

參考文獻

• Sullivan, R., Timmermann, A., & White, H. (1999). Data-Snooping, Technical Trading Rule Performance, and the Bootstrap. The Journal of Finance, 54(5), 1647–1691.
• Bailey, D. H., Borwein, J., López de Prado, M., & Zhu, Q. J. (2014). Pseudo-Mathematics and Financial Charlatanism: The Effects of Backtest Overfitting on Out-of-Sample Performance. Notices of the American Mathematical Society, 61(5), 458–471.